Deformationsquantisierung

Deformationsquantisierung ist ein Ansatz in der mathematischen Physik und Geometrie, der Quantisierung eines klassischen Systems durch eine formale Deformation der Algebra der glatten Funktionen auf dem Phasenraum realisiert, statt einer Operatorendarstellung im Hilbertraum. Zentral ist das Sternprodukt, ein assoziatives Produkt auf der formalen Algebra C∞(M)[[ħ]] mit der Eigenschaft f⋆g = fg + (iħ/2){f,g} + O(ħ^2), so dass der Kommutator f⋆g − g⋆f = iħ{f,g} + O(ħ^2) die Poissonstruktur als erste Ordnung reproduziert. Der Parameter ħ spielt die Rolle von Plancks Konstante; der klassische Grenzfall ergibt sich beim Überstriften von ħ gegen Null.

Historisch entwickelte sich die Idee aus dem Moyal-Produkt für den flachen Phasenraum; später wurden Fedosov-Quantisierung für symplektische Mannigfaltigkeiten und das Kontsevich-Formalitätstheorem allgemein anwendbar. Kontsevich zeigt, dass für jede Poisson-Mannigfaltigkeit eine Deformationsquantisierung existiert. Fedosovs Methode liefert eine geometrische Konstruktion auf symplektischen Mannigfaltigkeiten, und Äquivalenzklassen von Sternprodukten werden durch formale Poissonkohomologie beschrieben.

Physikalisch bietet die Deformationsquantisierung eine phase-space-Formulierung der Quantenmechanik, in der Observablen weiterhin als Funktionen auftreten, deren Produkt durch das Sternprodukt qantentaugliche Korrekturen erhält. Sie verknüpft klassische und Quantenstrukturen formal über ħ und ist relevant für nichtkommutative Geometrie, Quantenfeldtheorie und die mathematische Struktur von Quantisierung. Beispiele schließen das Moyal-Produkt auf R2n sowie spezialisierte Sternprodukte auf Lie-Gruppen und allgemeine Poissonstrukturen ein.