Cylinderobjektit

Cylinderobjektit ovat käsite matematiikassa, erityisesti kategoriateoriassa ja homotopian teoriassa. Ne generalisoivat sylinteriä A × I ja tarjoavat tavan formalisoida homotopian f ja g: A → X morphismien välillä.

Määritelmä voidaan esittää yksinkertaisena versiona: Oletetaan, että M on mallikategoria tai muu turvallinen kantakategoria. Olennolle A annetaan Cyl(A) sekä kaksi morphismia i0,i1: A → Cyl(A) ja projektiomorfismi p: Cyl(A) → A sellaisin ehdoin, että p ∘ i0 = p ∘ i1 = id_A ja että kartta i0 ⊔ i1: A ⊔ A → Cyl(A) on cofibratio. Cyl(A) kutsutaan silloin A:n cylinder-objektiksi. Näillä rakenneosilla Cyl(A) toimii abstractina sylinterinä.

Homotopian määritelmä cylinder-objektin kautta: jos f,g: A → X ovat morphismeja, niin vasemmanpuoleinen homotopia f ≃ g on morphismi H: Cyl(A) → X, jolla H ∘ i0 = f ja H ∘ i1 = g. Tällainen H antaa homotopian A:n kahden kuvauksen välillä. Cylinder-objektit mahdollistavat homotopian käsitteellisen määritelmän ilman suoraa käyttäytymistä topologisella tilalla.

Esimerkkejä: Topologisessa tilassa cylinder(X) on X × I, missä i0(x) = (x, 0), i1(x) = (x, 1) ja p(x,t) = x. Simplicitet set -kategoriassa cylinder(X) on X × Δ[1], sisällyttäen X × {0} ja X × {1} Cylinderin osiksi. Cyl(A) on tällöin konkreettinen objekti, joka yleisesti toteuttaa saman sylinteriin liittyvän ominaisuusjoukon.

Käyttö: Cylinderobjektit ovat keskeisiä vasemman homotopian ja homotopiakategorian rakentamisessa mallikategorioissa, erityisesti silloin kun olio on cofibrant. Ne tarjoavat yleisen ja abstraktin kehyksen, jonka avulla homotopialle voidaan antaa muodollinen ja laajentuva määritelmä monissa matemaattisissa konteksteissa, kuten Top, sSet ja ketjujen kompleksit.