kategoriateoriassa

Kategoriateoria on matematiikan osa, joka tutkisee abstrakteja rakenteita ja niiden välisiä suhteita yleisellä tasolla. Kategoriassa on objekteja ja morfismeja (karttoja), joiden avulla kuvaillaan rakenteita ja niiden välisiä yhteyksiä. Morfismeja voidaan yhdistää eli muodostaa kompositio, ja jokaisella oliolla on identiteettimorfi, joka toimii identiteettinä koostettaessa. Näiden perusominaisuuksien, assosiatiivisuuden ja identiteettien lakien ansiosta muodostuu kategorian syntaksi ja semantiikka. Tämä abstrakti kieli mahdollistaa erilaisten rakenteiden vertaamisen ja tiivistämisen yhteisen kehyksen alle.

Keskeisiä käsitteitä ovat funktorit, jotka siirtävät objekteja ja morfismeja toiselle kategorialle säilyttäen rakenteen, sekä naturaaliset muutokset funktorien välillä. Ekvivalenssit ja adjointit kuvaavat syviä yhteyksiä erilaisten kategorioiden välillä. Lisäksi ovat tärkeitä limits (rajoitteet) ja kolimitit, jotka yleistävät monia rakennetyyppejä kuten tuotteita, koprodukteja sekä pullbackeja ja pushouteja. Universaaliset ominaisuudet määrittelevät näiden rakenteiden yleisluontoisen luonteen.

Kategoriateoria tarjoaa työkalun, jonka avulla voidaan havaita ja siirtää tuloksia eri matematiikan osa-alueilta. Yoneda-lause on yksi keskeisistä tuloksista, joka liittää olioiden morfismirepertoriin representaatioiden kautta. Esimerkkejä kategorioista ovat Set (joukot), Grp (ryhmät), Top (topologiset tilat) sekä Poset-kategoriat, joissa morfismit kuvaavat järjestysyhtälöitä. Historia: Kategoriateoria syntyi 1940-luvulla Samuel Eilenbergin ja Saunders Mac Lane -työn myötä.