Cofaktorutvidelse

Cofaktorutvidelse er en metode for å beregne determinanten av en kvadratisk matrise ved å utvide langs en rad eller en kolonne ved hjelp av kofaktorer. Metoden bygger på at determinanten kan uttrykkes som en sum av produkter mellom elementene i en rad eller kolonne og deres tilhørende koefaktorer.

La Mij være minoren til elementet aij, det vil si determinanten til matrisen som oppnås når i-te rad og j-te kolonne fjernes. Cofaktoren Cij er Cij = (-1)^(i+j) Mij. Da kan determinanten av en n x n matrise A skrives som det(A) = sum over j av aij Cij for en valgt rad i, eller det(A) = sum over i av aij Cij for en valgt kolonne j. Som base tilfelle gjelder det for en 2 x 2-matrise, hvor det(A) = ad - bc.

Eksempel: For en 3 x 3-matrise A = [ [a,b,c], [d,e,f], [g,h,i] ] er det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). Hver av de tre 2 x 2-minorene beregnes ved å fjerne den aktuelle raden og kolonnen, og deretter tas determinanten av den gjenværende 2 x 2-matrisen.

Egenskaper og anvendelser: Cofaktorutvidelse er lineær i hver rad og kolonne og kan brukes til symbolsk beregning samt bevis. Den er ofte lite effektiv for store matriser, men nyttig når spesifikke rader eller kolonner inneholder mange nuller. For numeriske beregninger foretrekkes ofte LU-dekomponering eller andre metoder.