Bølgenfunksjonen

Bølgenfunksjonen er i kvantemekanikk en kompleks funksjon som beskriver tilstanden til et kvantesystem. Ofte betegnes den ψ og avhenger av posisjon og tid, for eksempel ψ(x,t) i posisjonsrommet. Ifølge Borns regel gir kvadratet av modulene, |ψ(x,t)|^2, sannsynlighetsfordelingen for å finne partikkelen i posisjon x ved tid t. Normen til bølgenfunksjonen velges slik at ∫ |ψ(x,t)|^2 d^3x = 1, og normen bevares under tidsutviklingen.

Tilstandens tidsutvikling følger Schrödingers ligning. I ikke-relativistisk kvantemekanikk er den tidsavhengige formen iħ ∂ψ/∂t = H ψ, hvor H er Hamiltonian-operatøren. Denne ligningen garanterer en enhetsutvikling slik at normaliseringen bevares over tid. For stasjonære tilstander kan løsningen skrives som ψ(x,t) = φ(x) e^{-iEt/ħ}, hvor φ er en løsning av H φ = E φ.

Bølgenfunksjonen er ikke selv et mål på en observasjon. Fysiske størrelser måles gjennom operatøren Â, og forventningsverdien av en størrelse er ⟨Â⟩ = ∫ ψ^*(x,t) Â ψ(x,t) d^3x. Ved måling får systemet et resultat som korresponderer med et av bølgenfunksjonens eigentilstander, og systemet kollapser til en tilstand av det observerte eigenverdien i henhold til sannsynligheter bestemt av ψ.

Representasjoner: I posisjonsrommet er bølgenfunksjonen en funksjon av x og t, mens i momentumsrommet er φ(p,t) gitt av en Fourier-transform av ψ. Begge representasjoner beskriver samme tilstand. Viktige grensebetingelser og normalisering gjelder også i disse rammeverkene.

Vanlige eksempler inkluderer en fri partikkel, hvor bølgenfunksjonen kan beskrives som en utbredt bølge med konstant fase, og harmonisk oscillator, som har diskrete energinivåer.