BurnsideSätze

BurnsideSätze bezeichnet eine Gruppe von Sätzen der Gruppentheorie, die von William Burnside stammen. In der deutschsprachigen Literatur werden damit häufig das Burnside-Lemma (auch Burnside-Zähllemma) sowie verwandte Ergebnisse zusammengefasst, darunter der berühmte Satz über Gruppenordnung der Form p^a q^b. Die Burnside-Sätze spielen eine zentrale Rolle in der Kombinatorik, der Strukturtheorie von Gruppen und bei Zählproblemen unter Symmetrien.

Das Burnside-Lemma besagt: Sei G eine endliche Gruppe, die eine endliche Menge X auf sich wirkt. Dann ist die Anzahl der oderbits von X unter der Aktion von G gegeben durch (1/|G|) sum_{g in G} |Fix(g)|, wobei Fix(g) die Menge der Elemente in X bezeichnet, die durch g unverändert bleiben. Das Lemma ermöglicht es, die Anzahl unterschiedlicher Konfigurationen zu bestimmen, ohne alle äquivalenten Objekte separat zu unterscheiden. Ein typisches Anwendungsbeispiel sind farbige Muster oder Necklaces unter Rotationen oder Spiegelungen; das Lemma liefert die Anzahl der tatsächlich verschiedenartigen Muster.

Der Burnside-P^a q^b-Satz lautet grob: Jedes endliche Gruppenordnung der Form p^a q^b, mit Primzahlen p und q, ist lösbar. Daraus folgt oft die Existenz einer Normaluntergruppe mit darauf folgender absteigender Aufspaltung in abellscher Weise, was die Klassifikation solcher Gruppen erleichtert. Der Satz hat wesentliche Auswirkungen auf die Strukturtheorie endlicher Gruppen.

Verwandte Konzepte sind Polya’s Enumerationssatz, der Zyklusindex und die Verbindung zwischen Burnside-Lemma und der Orbit-Stabilizer-Theorie. BurnsideSätze bündeln grundlegende Zähl- und Strukturprinzipien, die in Mathematik, Chemie und Informatik genutzt werden.