Bogenumfang

Bogenumfang bezeichnet in der Geometrie die Länge eines Kreisbogens – also die Länge eines Abschnitts des Kreises. Er hängt vom Radius r des Kreises und vom zentralen Winkel θ ab, der von den Endpunkten des Bogens am Mittelpunkt eingeschlossen wird. Für einen Kreis gilt s = r · θ, wenn θ im Bogenmaß (Radiant) angegeben ist. Bei Winkel in Grad lautet die Formel s = (π r / 180) · θ_deg bzw. s = θ_deg/360 · 2π r. Der vollständige Kreis hat Bogenumfang 2πr und entspricht θ = 2π rad bzw. 360°.

Das Bogenmaß θ ist der Winkel in Radiant; Radiant bedeutet, dass θ = s / r. In vielen Berechnungen ist das radian measure Standard.

Für allgemeine Kurven lässt sich die Bogenlänge durch s = ∫ sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt bestimmt werden, falls die Kurve parametrisiert ist. Bei einer Kurve y = f(x) reduziert sich das auf s = ∫ sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx über das betreffende Intervall.

Anwendungen umfassen Kreisberechnungen, Sektoren, Trigonometrie, Kinematik und Grafik, wo die Länge eines Kreisbogens benötigt wird.