Bezugsflächen

Bezugsflächen bezeichnet in der Geometrie und Differentialgeometrie eine natürliche Referenz auf einer glatten Fläche, die durch eine Koordinatisierung der Fläche entsteht. Gegeben sei eine Fläche S mit einer glatten Parametrisierung r(u,v), die eine Position auf der Fläche für jedes Paar (u,v) liefert. Die zwei eindimensionalen Familien von Kurven, die sich aus der Parametrisierung ergeben, nennt man die Bezugsflächen der Parametrisierung: die Kurven u = const (entlang der v-Parameterlinie) und die Kurven v = const (entlang der u-Parameterlinie). Diese beiden Familien bilden ein Koordinatennetz auf der Fläche; jedes Paar von Bezugsflächen schneidet sich transvers, sofern die Parametrisierung regular ist.

An jedem Punkt p = r(u,v) der Fläche liefern die Bezugsflächen die Tangentenrichtungen r_u und r_v, die die partiellen Ableitungen von r darstellen und im Tangentialraum der Fläche liegen. Die beiden Richtungen definieren die erste Fundamentalform ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2, mit E = r_u · r_u, F = r_u · r_v und G = r_v · r_v. Dadurch erhält man Metrik, Krümmung und andere geometrische Größen in Bezug auf das Koordinatennetz der Bezugsflächen.

Beispiel: Eine Kugel S^2 mit der Parametrisierung r(θ, φ) = (sinφ cosθ, sinφ sinθ, cosφ). Die Bezugsflächen bestehen aus Meridiane (θ variiert, φ konstant) und Parallelen (φ variiert, θ konstant). Die zugehörigen Tangentenvektoren r_θ und r_φ liegen in der Tangentialebene und liefern das Koordinatennetz auf der Kugel.

Verwendung: Bezugsflächen dienen der Beschreibung der Geometrie einer Fläche, der Berechnung der Metrik, Krümmung und weiterer invarianten Größen sowie der Konstruktion von Koordinatengittern in Anwendungen der Geometrie, Computergraphik und Technik.