BesselKorrektur

BesselKorrektur, in der Statistik auch als Bessel-Korrektur bezeichnet, beschreibt die Anpassung des Nennerterms bei der Schätzung der Varianz aus einer Stichprobe. Statt n wird der Wert n−1 verwendet, um eine Verzerrung in der Schätzgröße der Populationsvarianz zu vermeiden.

Formel: Die Stichprobenvarianz s^2 wird definiert als s^2 = (1/(n−1)) Σ_{i=1}^n (X_i − X̄)^2, wobei X̄ der Stichprobenmittelwert ist. Die Stichprobenstandardabweichung ist s = sqrt(s^2).

Begründung: Der Stichprobenmittelwert ist eine Schätzung des wahren Mittelwerts μ. Die Summe der quadrierten Abweichungen hat deshalb n−1 Freiheitsgrade; aus dieser Freiheitsreduktion folgt E[s^2] = σ^2, sodass s^2 ein erwartungstreuer Schätzer der Populationsvarianz σ^2 ist.

Anwendung: Bessel-Korrektur ist fundamental in vielen statistischen Verfahren, z. B. in t-Tests, Konfidenzintervallen für Mittelwerte und in der Varianzschätzung in der Regression (mit Restdgl. df = n−k). Einschränkungen: Während s^2 unverzerrt σ^2 schätzt, ist der Erwartungswert von s nicht gleich σ; die Standardabweichungsschätzung ist insbesondere bei kleinen Stichproben verzerrt. Für gewichtete Stichproben oder endliche Populationen gelten spezialisierte Formeln.

Historischer Hintergrund: Die Korrektur wird dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel zugeschrieben; sie wurde eingeführt, um Verzerrungen in der Varianzschätzung aus Stichproben zu korrigieren.