Bernoulliekvationer

Bernoulliekvationer är ett begrepp som används i två närliggande sammanhang. Dels finns Bernoullis differentialekvationer i matematiken, en klass av första ordningens icke-linjära ekvationer som ofta löses med speciella substitutionsmetoder. Dels finns Bernoullis princip inom fluiddynamik, som beskriver energibevarande längs en strömlinje i en ideal vätska. Begreppet förekommer ofta i gymnasie- och universitetsundervisning samt i tillämpningar inom teknik och naturvetenskap.

Bernoullis differentialekvation uppträder i formen dy/dx + P(x) y = Q(x) y^n, där n ≠ 0,1. Genom substitutionen z = y^(1−n) förvandlas ekvationen till en linjär differentialekvation i z, som löses med vanliga metoder. Ekvationen används för att modellera processer där en icke-linjär term spelar en viktig roll, samtidigt som den kan förenklas till en linjär form under rätt substitutionsval.

Bernoullieks princip inom fluiddynamik säger att för stationärt, inkompressibelt och invisköst flöde längs en strömlinje är den sammanlagda energin per volym konstant: p + ρ v^2/2 + ρ g z = C. Här är p tryck, ρ densitet, v hastighet och z höjd över referensnivå. Ekvationen gäller för idealvätskor och längs en strömlinje, men vid märkbara viskositetsförluster, energiförluster eller vid betydande kompressibilitet blir den en förenkling.

Historik och tillämpningar: Principen publicerades av Daniel Bernoulli i Hydrodynamica (1738). Den används brett inom teknik för att förutsäga tryckförändringar i rörsystem, beräkna flöden i venturimätare och nozzleer samt analysera blodflöden och andra vätskeflöden.