Basiskardinalität

Basiskardinalität bezeichnet in der Mathematik die Kardinalität einer Basis eines Vektorraums oder, allgemeiner, einer freien Modulbasis. Am häufigsten versteht man darunter die Basis eines Vektorraums über einem Körper; die Basiskardinalität entspricht dann der Dimension des Raums. Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, deren lineare Hülle den gesamten Raum eindeutig darstellt.

Wesentliche Eigenschaft ist, dass alle Basen eines Vektorraums dieselbe Kardinalität haben. Damit ist die Basiskardinalität eine Eigenschaft des Raums und unabhängig von der konkreten Basiswahl. Die Existenz einer Basis und diese Invarianz erfordern typischerweise das Axiom der Wahl.

Bei endlichen Vektorräumen ist die Basiskardinalität eine endliche Zahl n, die die Dimension des Raums angibt. Bei unendlichen Vektorräumen ist sie eine unendliche Kardinalzahl; sie wird als Dimension des Raums bezeichnet. Beispiele: Der Raum der Polynome über R hat Dimension aleph0; der Raum aller Funktionen von N nach R hat in der Regel eine größere Dimension (typischerweise 2^aleph0).

In der Praxis wird zwischen der Hamelbasis (lineare Hülle durch endliche Linearkombinationen) und der Schauderbasis (konvergenzbezogen in topologischen Räumen) unterschieden. Die Basiskardinalität bezieht sich üblicherweise auf die Hamelbasis.

Generell lässt sich der Begriff auch auf freie Module über Ringen erweitern; dort spricht man von dem Rang oder der Basisanzahl.