AxisAngleFormen

AxisAngleFormen bezeichnen eine Darstellung von Rotationen im dreidimensionalen Raum durch eine Drehachse und einen Drehwinkel. Ein Achsenwinkel-Paar besteht aus einer Einheitsachse k = (kx, ky, kz) und einem Winkel theta, der die Drehung um diese Achse angibt. Diese Darstellung ist äquivalent zu anderen Repräsentationen wie Rotationsmatrizen und Quaternionen und wird häufig verwendet, wenn Rotation naheliegend und interpretierbar bleiben soll.

Die Rotationsmatrix R, die durch Achsenwinkel beschrieben wird, lässt sich nach der Rodrigues-Formel berechnen. Setzt man das Skew-Symmetrie-Matrix [K] aus der Achse k wie folgt auf [K] = [[0, -kz, ky], [kz, 0, -kx], [-ky, kx, 0]], dann gilt R = I + sin(theta)[K] + (1 - cos(theta)) [K]^2. Alternativ kann R auch als R = I cos theta + (1 - cos theta) k k^T + sin theta [K] geschrieben werden. Der Vektor v = theta k nennt man auch Rotationsvektor; seine Länge entspricht dem Drehwinkel und seine Richtung der Drehachse.

Konvertierungen: Aus einer Rotationsmatrix R erhält man die Achse als Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert 1, und den Winkel über theta = arccos((trace(R) - 1)/2). Aus Achsenwinkel lässt sich eine Quaternion q berechnen: q = [cos(theta/2), sin(theta/2) kx, sin(theta/2) ky, sin(theta/2) kz]. Eine gängige Eigenschaft ist die Doppelbedeutung: Eine Drehung um theta um k ist äquivalent zu einer Drehung um -theta um -k; daher wird oft der Winkelbereich auf [0, π] begrenzt.

Vorteile dieser Form liegen in der Interpretierbarkeit und der Kompaktheit, insbesondere bei Sensorfusion und analytischen Berechnungen. Nachteile ergeben sich bei der direkten Rotation-Interpolation und bei numerischer Stabilität nahe theta = 0 oder theta = π; in vielen Anwendungen werden daher Zwischenformen wie Quaternionen bevorzugt oder Roationsmatrizen verwendet. AxisAngleFormen finden breite Anwendung in Robotik, Computer Graphics und virtuellen Realitäts-Systemen.