Associatiivisuus

Assosiaatio on binäärisen operaation ominaisuus. Jos joukko S ja binäärinen operaatio *: S×S → S toteuttavat (a*b)*c = a*(b*c) kaikille a, b ja c ∈ S, sanotaan, että * on assosiatiivinen. Tämä tarkoittaa, että kolmen tekijän tuloksen lasku ei riipu siitä, miten sulut asetetaan.

Yleisimmät esimerkit ovat: lukujen yhteenlasku ja kertolasku, sekä merkkijonojen yhteenlasku. Esimerkiksi (a+b)+c = a+(b+c) ja (ab)c = a(bc). Merkkijonojen yhteenlasku on myös assosiatiivinen: (xy)z = x(yz). Funktioiden koostaminen on assosiatiivinen: (f∘g)∘h = f∘(g∘h). Matriisikertolasku on myös assosiatiivinen: (AB)C = A(BC).

Ei-assosiatiivisia tapauksia ovat esimerkiksi tietyt kaksihuipputuotteet, kuten luvut a, b ja c, jos operaatio ei ole määritelty assosiatiiviseksi. Esimerkkinä tavallinen vähennys ja jakaminen eivät ole assosiatiivisia: (a−b)−c ei yleensä ole sama kuin a−(b−c); samoin (a/b)/c ei yleensä ole sama kuin a/(b/c).

Algebrallisissa rakenteissa assosiaatio on perusta: semigruppi on ei-tyhjä joukko, jonka binäärinen operaatio on assosiatiivinen; monoidissa on lisäksi identiteetti; ryhmässä jokaisella alkiolla on käänteisalkio.

Tietotekniikassa ja ohjelmoinnissa assosiaatio vaikuttaa laskennan järjestykseen. Monissa kielissä määritellään vasemmanpuoleinen sitominen ja etusijat, mikä ohjaa sulkujen käyttöä ja tulosten aritmeettista tulkintaa ohjelmaksi.