Approksimaatiot

Approksimaatiot ovat prosesseja, joissa tarkka arvo korvataan lähellä olevalla, helpommin laskettavalla tai käytännön sovellukseen soveltuvalla arvolla. Tavoitteena on säilyttää tuloksen käytännöllinen tarkkuus, samalla kun laskennan kustannukset, aika tai tiedonepävarmuus pienennetään. Approksimaatioita käytetään sekä numeerisissa laskuissa että teoreettisissa malleissa.

Lajit ja menetelmät liikkuvat teorian ja sovellusten välissä. Analyyttisissä approksimaatioissa käytetään usein sarjoja tai polynomisia esityksiä, kuten Taylor- tai Maclaurin-sarjoja, jotka lähestyvät funktiota kulmakohdassa. Interpolointi ja least squares -menetelmät tarjoavat polynomisia tai rationaalisia likiarvoja havaintojen perusteella. Kauempana klassisista sarjoista ovat Fourier- ja Legendre-sarjat sekä Chebyshev-tyyppiset lähestymistavat, joita hyödynnetään sekä signaali- että tilastotieteessä. Padé-approksimaatiot antavat rationaalisen lähestymistavan, joka voi konvergoitua nopeammin joillakin funktioilla.

Virhe ja tarkkuus ovat keskeisiä osia approksimaation kuvausta. Virheellinen tulos sisältää sekä matemaattisen mutta myös mittaus- ja mallivirheen. Tarkkuuden arviointi ja konvergenssi ovat tärkeitä, kun valitaan menetelmä ja sovelluksen skaalat.

Sovelluksina approksimaatiot ovat välttämättömiä laskennallisessa matematiikassa, insinööritieteissä, taloustieteessä sekä signaalinkäsittelyssä. Ne mahdollistavat monien ongelmien ratkaisemisen silloin, kun täsmällinen ratkaisu on vaikea tai mahdoton laskea.

Esimerkkejä ovat pienresoluutioiset likiarvot transendentaaleille funktioille sekä kevyemmät malliarvot fysikaalisista tai taloudellisista malleista.