Padéapproksimaatiot

Padé-approksimaatiot ovat rationaalisia lähestymistapoja funktion f lähentämiseen käyttämällä kahden polynomin suhdetta. Ne voivat tarjota parempia likimääräisiä arvoja kuin tavallinen Taylor- tai Maclaurin-sarja, erityisesti lähellä singulariteetteja tai sen ulkopuolella, missä sarja voi konvergoida huonosti.

[ p/q ] Padé-approksimaatti R_{p,q}(x) = P_p(x)/Q_q(x) on rationaalinen funktio, jossa deg P_p ≤ p ja deg Q_q ≤ q sekä Q_q(0) = 1. Se on määritelty siten, että sen Maclaurin-sarja vastaa f:n Maclaurin-sarjaa yhtä pitkään kuin p+q termiä, eli f(x) − R_{p,q}(x) = O(x^{p+q+1}). Koefisientit P_p ja Q_q ratkaistaan asettamalla saman aikaiset kertoimet lineaariseen järjestelmään.

Padé-ruutu (Padé-table) järjestää kaikki mahdolliset [p/q]-approksimaatit p- ja q-arvokehitysten mukaan; diagonaaliset ja lähes diagonaaliset approksimaatit ovat yleisimmin käytettyjä.

Etuna on, että ne voivat konvergoida ja kuvata napoja sekä muita erikoisempia käyttäytymismalleja, mikä auttaa analyyttisessä jatkamisessa ja divergenttisarjojen summennuksessa. Rajoituksena on, että ne voivat tuottaa keinotekoisia napoja (spurious poles) eikä niiden luotettavuutta voi taata kaikissa tapauksissa; valinta ja tulkinta vaativat harkintaa.

Käyttökohteita ovat numeerinen analyysi, differen- tiiaalilaskelmat, divergenttisarjojen summennus sekä sovellukset fysiikassa, kvanttifysiikassa, ohjausteoriassa ja signaalinkäsittelyssä.