Aliavaruus

Aliavaruus on matemaattinen käsite, jolla tarkoitetaan vektoritilan sisäistä alaosaa, joka on itse vektoritila samoilla laskusäännöillä. Termiä käytetään sekä lineaarialgebrassa että fysiikan kontekstissa, kun halutaan kuvailla suuremman tilan sisäisiä rakenteita, jotka voivat muodostaa erillisiä kokonaisuuksia.

Määritelmä: Olkoon V vektoritila, joka on määritelty kentällä F. Alavaruus U on aliavaruus, jos U ei ole tyhjä ja U on suljettu seuraavien ominaisuuksien suhteen: jos u ja v ovat U:sta, niin u+v ∈ U, sekä kaikilla a ∈ F ja u ∈ U, niin au ∈ U. Näin ollen nollavektori 0 kuuluu U. Näin määritelmän mukaan aliavaruus on alijoukko, joka säilyttää sekä yhdistämisen että skalaarikertolaskun.

Esimerkkejä: {0} on triviaalialavaruus. R^n on aliavaruus itselleen. Jos v ≠ 0, niin joukko {t v | t ∈ R} on aliavaruus (viiva origon kautta). Pinta-ala {(x,y,0) | x,y ∈ R} on aliavaruus R^3:ssa. Viiva, joka ei kulje origon kautta, ei ole aliavaruus, eikä mikään ei-origo-kulmassa oleva taso.

Lisäyksessä aliavaruudet mahdollistavat tilojen jakamisen ja rakenteen analysoinnin: jos V sisältää aliavaruudet U ja W, ja jokainen v voidaan kirjoittaa yksikertaisesti muodossa u + w, missä u ∈ U ja w ∈ W, sanotaan V:n olevan U:n ja W:n suora summa (V = U ⊕ W).

Käyttö: Aliavaruuksia käytetään laajasti lineaarien muunnosten analysoinnissa, ratkaisujen rakennevaihtoehtojen ilmaisemisessa sekä sovelluksissa kuten fysiikassa ja tietotekniikassa.