Aikadiskretisoinnissa

Aikadiskretisoinnissa tarkoitetaan jatkuvan aikaisen mallin muuttamista diskreetiksi aikaväleihin siten, että ratkaisut voidaan laskea askelittain. Yleisesti malli on muodossa dx/dt = f(x,t), ja tavoitteena on löytää sarja x_k ≈ x(t_k), missä t_k = t_0 + kΔt. Discretisointi määrittelee, miten seuraava tilaa x_{k+1} lasketaan nykyisestä tilasta x_k ja mahdollisesti ajasta t_k ja välimatkasta Δt.

Perusperiaate on valita sopiva muodostus Φ, joka määrittelee, kuinka tilan kehitys etenee yhdellä aikas­teella: x_{k+1} = Φ(x_k, t_k, Δt). Yleisimmät menetelmät eroavat sekä laskentamenetelmän monimutkaisuudessa että tarkkuudessa. Esimerkiksi explicit Eulerin menetelmä antaa x_{k+1} = x_k + Δt f(x_k, t_k), kun taas implicit Eulerin menetelmä määrittelee x_{k+1} = x_k + Δt f(x_{k+1}, t_{k+1}) ja vaatii tilan ratkaisemista jokaisessa askeleessa. Heunin menetelmä sekä Runge–Kutta -perheet (kuten RK2 ja RK4) tarjoavat paremman tarkkuuden monimutkaisemmissa malleissa. Crank–Nicolson on semi-implicitinen ja hyödyntää sekä menettelyn että aikavälin keskirivirtaa.

Ominaisuuksiin kuuluvat konsistenssi, stabiliteetti ja konvergenssi. Explicit Euler on helposti toteutettavissa mutta stabiilisuudeltaan rajoittunut erityisesti jäykissä ongelmissa, jolloin Δt on pidettävä pienenä. Implicit ja useat korkeammat Runge–Kutta -menetelmät voivat olla stabiilimpia jäykissä systeemeissä, mutta ne vaativat ratkaisuja joka askeleessa. Konvergenssi varmistuu, kun Δt pienenee ja menetelmä on sekä konsistentti että stabiili.

Käyttökohteita ovat fysiikka, kemiä, biologia, taloustiede sekä insinööri- ja tietojenkäyttötieteen simuloinnit, joissa jatkuvat mallit—usein differentiaaliyhtälöt—on tarpeen muuntaa laskettavaksi ja aikavarasta hallittavaksi. Valinta riippuu mallin ominaisuuksista, halutusta tarkkuudesta ja laskentatehosta.