Adjointmeetoditega

Adjointmeetoditega on tehnika, mille eesmärk on arvutada ühe skaalarsfunktsiooni gradient sõltuvalt paljudest parameetritest efektiivselt. Neid kasutatakse peamiselt suurte ja keeruliste süsteemide puhul, kus otse gradientide arvutamine oleks väga kulukas. Meetodite aluseks on adjointvõrrandid, mis saadakse mudeli piirangute Lagrangianist.

Põhimõte on järgmine: määratakse eesmärkfunktsioon J(y,u), kus y on süsteemi seisund ja u on kontroll- või disainiparameeter. Edasimudel ehk forward-süsteem lahendatakse, seejärel lahendatakse adjointmudel ning saadakse adjointseisund p, mille põhjal koostatakse gradient parameetrite suhtes. Üldine gradientide avaldumine on tavaliselt dJ/du = ∂J/∂u − (∂F/∂u)^T p, kus F(y,u)=0 kirjeldab süsteemi piiranguid. Vajadusel on forward- ja adjointlahenduse kompromissid ning diskreetsed kujutised mudelist. Selle kahe lahendusvõrrandi abil saab üheks järgmiseks sammuks teha gradientpõhise optimeerimise kõigi parameetrite suhtes.

Töövoog hõlmab tavaliselt järgmisi samme: defineeri eesmärk J, lahenda forward-mudel y(u), lahenda adjoint-mudel, arvuta gradient dJ/du ja kasuta seda gradientpõhistes optimeerimismeetodites. Adjointmeetodeid kasutatakse laialdaselt PDE- või ODE-põhiste mudelitega, kus parameetrite arv on suur ja otsene gradientide arvutamine muutub ebaefektiivseks.

Rakenduste valdkonnad hõlmavad PDE-põhiseid optimeerimis- ja kontrolliprobleeme, aerodünaamikat ja lennukidisaini, mehhaanikat, loodusteadusi, meteoroloogiat ning andmete assimilatsiooni (nt 4D-Var). Erinevad lähenemised, kuten continuous ja discrete adjoint, annavad erinevaid eeliseid vastavalt modellile ja diskretiseerimise kontekstile.