Additiivisyys

Additiivisyys (additivity) on matemaattinen ominaisuus, jossa jokin operaatio säilyttää yhteenlaskun. Yleisintä tämä koskee funktioita tai mitta-arvoja, joiden määrittely tapahtuu jonkin ryhmän tai avaruuden yhteenlaskun kautta. Lopputuloksena f(x+y)=f(x)+f(y) kaikilla sille määritellyn joukon elementeillä x ja y.

Funktion tasolla additiivinen funktio f tarkoittaa, että f(x+y)=f(x)+f(y) pätee kaikilla x,y. Jos lisäksi pätee f(ax)=a f(x) kaikille skaalauksille, puhutaan lineaarisuudesta, joka on additiivisuuden vahva muoto. Additiivisia funktioita esiintyy esimerkiksi vektori- tai abelian-ryhmien konteksteissa.

Mitta- ja todennäköisyyslääketieteessä additiivisuus viittaa siihen, että mitta tai todennäköisyys on disjunktien joukkojen yhdistettäessä summattavissa. Finite additivity tarkoittaa, että μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) kun A ja B ovat eroteltuja, ja sigma-additiivisuus (countable additivity) laajentaa tämän päteeille lukuisillekin yhteenlasketuille erotelluille joukoille: μ(∪i A_i)=∑i μ(A_i). Esimerkiksi Lebesgue-mitta sekä todennäköisyyden mitta ovat usein sigma-additiivisiä.

Sub- ja superadditiivisuus ovat additiivisuuden naapurimuotoja: subadditiivinen funktio täyttää f(x+y) ≤ f(x)+f(y), kun taas superadditiivinen täyttää f(x+y) ≥ f(x)+f(y). Additiivisuus on keskeinen käsite matematiikassa ja liittyy muun muassa mitta- ja algebrakohtiin sekä erilaisiin rakenteisiin kuten mitta-annonsentoon ja lineaarisuuteen.