Additiivisuus

Additiivisuus on matemaattinen ominaisuus, jossa jokin rakennelma tai funktionaalinen objekti säilyttää yhteenlaskun. Sillä tarkoitetaan tilannetta, jossa samanlaiset osat voidaan yhdistää ja niiden vaikutus on sama kuin osien vaikutusten summa. Ominaisuus esiintyy erityisesti funktioiden, mittojen ja todennäköisyysmallien yhteydessä.

Funktion additiivisuus tarkoittaa, että funktio f on additiivinen kun f(x + y) = f(x) + f(y) kaikilla x, y määrittelyalueella. Tämä on tunnettu Cauchy-yhtälö. Ilman lisäehtoja epälineaarisia ratkaisuja esiintyy; jos f on jatkuva, mitattavissa tai rajoittunut jollakin välillä, johdonmukaisesti johtopäätö on että f on lineaarinen, eli f(x) = c x tietyllä vakiolla c.

Mittauksen additiivisuus viittaa mittaan μ, jonka on täytettävä μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) kun A ja B ovat erillisiä (disjoint). Tämä perusmuoto muodostaa finite additivityn. Pääsääntö digitaaliseen analyysiin ja todennäköisyyteen liittyy kuitenkin σ-additiivisuus: samanlainen ehto määrätyin mielin koskien lukulukin määrää disjoint joukkoja. Lisäksi μ(∅) = 0 ja mitta on usein kokonaisuutena riittävän.

Todennäköisyysmäärittelyissä todennäköisyysmitta P on additiivinen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) disjoint A:lle ja B:lle, ja koko tilan P(Ω) = 1.

Esimerkkejä: f(x) = c x on additiivinen; f(x) = x^2 ei ole additiivinen. Lebesgue-mitta on σ-additiivinen; määrälliset todennäköisyysmittat täyttävät additiivisuuden. Subadditiivisuus on eri käsite, jossa μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B).

---