Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett reellt tal x betecknas ofta som |x| och definieras som avståndet mellan x och noll på tallinjen. Det är alltid icke-negativt: |x| ≥ 0. Om x ≥ 0 är |x| lika med x, och om x < 0 är |x| lika med −x.

Viktiga egenskaper: |xy| = |x| |y| och |x^n| = |x|^n för alla heltal n ≥ 0. Om x ≠ 0 så gäller |1/x| = 1/|x|. Triangelolikheten säger att |x + y| ≤ |x| + |y|; en närliggande sats är ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Användning och tolkning: |x − y| mäter avståndet mellan två tal x och y. Absolutbeloppet används för att beskriva storlek utan riktning och för att uttrycka avstånd i en mängd sammanhang, från algebra till analys. Exempel: |3| = 3, |−5| = 5, |−2 + 7| = 5.

Relation till komplexa tal: För komplexa tal z används oftare termen modul än absolutbelopp. Modulen definieras som |z| = sqrt(z·conj(z)) och motsvarar avståndet från z till noll i komplexa planet. I vardagliga svenska sammanhang används dock begreppet absolutbelopp även ibland för reella tal.

Lösningar av ekvationer och ojämlikheter: Om |x| ≤ a där a ≥ 0, är lösningen −a ≤ x ≤ a. Om |x| = a och a ≥ 0 ger det x = a eller x = −a. För a < 0 har uttrycket ingen lösning.