absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett reellt tal, oftast betecknat |x|, är det icke-negativa tal som motsvarar avståndet mellan x och noll på tallinjen. Enligt definitionen är |x| = x om x är större eller lika med noll, och |x| = −x om x är mindre än noll. Därför är |x| alltid ≥ 0 och |x| = 0 bara när x = 0.

Vanliga egenskaper är bland annat att absolutbeloppet är produktivt: |xy| = |x| |y|, och absolutbeloppet av ett negativt tal är symmetriskt: |−x| = |x|. Man har även triangelolikheten: |x + y| ≤ |x| + |y|. Dessutom gäller |x|^2 = x^2 och för heltal n ≥ 0 att |x^n| = |x|^n. Absolutbeloppet är också en jämn funktion: |−x| = |x|.

Utöver reella tal används termen också i samband med komplexa tal, där absolutbeloppet kallas modulus och betecknas vanligtvis |z| för z = a + ib. Då är |z| = sqrt(a^2 + b^2), och egenskaperna |zw| = |z| |w| och |z̄| = |z| gäller. Man har också |z|^2 = z z̄.

I praktiken uppfattas absolutbeloppet som avståndet till noll och används för att definiera avstånd mellan två reella tal, konvergens, och olika typer av normer i vektorutrymmen. Det fungerar som grundläggande byggsten i många algebraiska och analytiska resonemang och är ett centralt verktyg i grundläggande matematik.