ARXARMAXModellen

ARXARMAXModellen är en familj av linjära tidsseriemodeller som används för att beskriva sambandet mellan en outputvariabel och en eller flera externa ingångar. De är vanliga inom systemidentifiering, processtyrning, signalbehandling och ekonometriska prognoser på grund av sin tolkningsbara struktur och förmåga att fånga dynamiska effekter.

Ett ARX-modell (autoregressivt med exogena ingångar) beskriver nuvarande output som en linjär kombination av tidigare värden av outputen, tidigare och nuvarande värden av de exogena ingångarna samt ett slumpmässigt felterm. En vanlig form är y_t = sum_{i=1}^p a_i y_{t-i} + sum_{j=0}^r b_j u_{t-j} + e_t, där p är AR-ordningen, r är antalet lags för ingångarna och e_t är ett vitt brus.

ARMAX-modellen utvidgar ARX genom att tillåta att störningen följer ett MA-process, vilket innebär att felet beror på tidigare feltermer. En vanlig form är y_t = sum_{i=1}^p a_i y_{t-i} + sum_{j=0}^r b_j u_{t-j} + sum_{k=1}^s c_k e_{t-k} + e_t. Denna MA-del fångar kortsiktiga korrelationer i störningen och kan förbättra modellens anpassning när brus inte är rena vitt brus.

Estimering och identifiering bygger vanligtvis på metodik som least squares för ARX och maximum likelihood eller Prediction-Error Methods för ARMAX, ofta med urval av ordningar (p, r, s) via informationskriterier (AIC/BIC) och diagnostik av residualer samt impulssvar. Modellering kräver tillgång till tillräckligt varierande insignaler och stabil dynamik.

Användningsområden inkluderar processkontroll, prognoser och tekniksektorer där tolkbarhet och influens av ingångar är viktiga. Begränsningar inkluderar antaganden om linearitet, identifikationsutmaningar och känslighet för val av modellordningar och data kvalitet.