4DGeometrie

4DGeometrie bezeichnet die Geometrie in vier Dimensionen, typischerweise im vierdimensionalen euklidischen Raum R^4 oder im Minkowski-Raum der Physik. Sie untersucht Punkte, Geraden, Ebenen, Flächen und Körper in vier Koordinaten.

Im euklidischen R^4 gilt die Distanz d(p,q)=√[(p1−q1)^2+(p2−q2)^2+(p3−q3)^2+(p4−q4)^2]. Winkel, Projektionen, Abstände und Volumen werden entsprechend verallgemeinert; das Volumen eines Vierdimensionalen Objekts heißt Hypervolumen.

Zu den regulären Vierdimensionalen Polytopen gehören die 5-Zelle {3,3,3}, die 8-Zelle {4,3,3} (Tesserakt), die 16-Zelle {3,3,4}, die 24-Zelle {3,4,3}, der 120-Cell {5,3,3} und der 600-Cell {3,3,5}. Diese Körper besitzen charakteristische Symmetrien und dienen als Grundbausteine der Vierdimensionalen Geometrie.

Viele Aspekte der 4D-Geometrie werden durch Projektionen oder Querschnitte in 3D zugänglich. Aus einer 4D-Form ergeben sich dreidimensionale Schnitte oder Projektionen, die visuell darstellbar sind und Einblick in deren Struktur geben.

In der Physik nutzt die Raumzeit den Minkowski-Raum; hier unterscheidet sich Metrik und Signatur von der rein euklidischen Geometrie, was Relativitätstheorien bildet und zeitliche Komponenten mit den räumlichen kombiniert.

Anwendungen der 4D-Geometrie finden sich in Mathematik, theoretischer Physik, Computergrafik und Datenvisualisierung; sie dienen der Untersuchung von Symmetrien, Topologie und höheren Dimensionen.