Äquivalenzbereich

Äquivalenzbereich ist kein fest definierter Fachausdruck der Mathematik. In der Praxis wird der Begriff gelegentlich informell verwendet, um die Teilmenge eines Ausgangsbereichs zu bezeichnen, die aus Elementen besteht, die zueinander durch eine gegebene Äquivalenzrelation äquivalent sind. Die gebräuchlichere Bezeichnung hierfür ist Äquivalenzklasse; der Ausdruck Äquivalenzbereich kann aber in bestimmten Kontexten eine ähnliche Bedeutung haben, besonders wenn von Bereichen innerhalb einer Klasseneinteilung oder bei Modulo-Kongruenzen die Rede ist.

Sei S eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf S. Für ein Element x ∈ S definiert [x] = { y ∈ S | y ~ x } die Äquivalenzklasse zu x. In vielen Texten wird der Begriff Äquivalenzbereich synonym verwendet, um die Menge der Elemente zu bezeichnen, die unter ~ in die Nähe von x fallen; standardisiert ist jedoch der Ausdruck Äquivalenzklasse. Die Menge der Äquivalenzklassen S/~ ist die Quotientenmenge, und S ist durch diese Klassen parti­tioniert.

Beispiel: Mit der Kongruenz modulo n auf den ganzen Zahlen Z ist [a] = { k ∈ Z | k ≡ a (mod n) }. Die Division von Z durch diese Relation ergibt genau n verschiedene Äquivalenzklassen, oft Restklassen genannt.

Eigenschaften: Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse; die Klassen liefern eine Partition der Grundmenge; die Abbildung π: S → S/~ mit π(x) = [x] fasst die Zuordnung des Elements zu seinem Äquivalenzbereich in der Quotientenstruktur zusammen.

Siehe auch: Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse, Kongruenz, Quotientenmenge, Relation.