wstrzykiwalnoci

Wstrzykiwalność (injectivity) to właściwość funkcji f: A → B, polegająca na tym, że różne argumenty mają różne wartości: jeśli f(x1) = f(x2) to x1 = x2 dla wszystkich x1, x2 ∈ A. Formalnie, f jest wstrzykiwalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie występują dwa różne elementy mapujące się na ten sam obraz.

Równoważne sformułowania obejmują istnienie lewej odwrotności: istnieje funkcja g: B → A taka, że g(f(x)) = x dla każdego x ∈ A, co zapewnia jednoznaczną odwrotność na obrazie f. W praktyce wstrzykiwalność oznacza, że nie występują „kolejki kolizji” w odwzorowaniu.

Przykłady. Funkcja f(x) = x^3 z definicji na liczbach rzeczywistych jest wstrzykiwalna. Funkcja f(x) = x^2 nie jest wstrzykiwalna na całej osi R, lecz ograniczenie do przedziału [0, ∞) jest wstrzykiwalne. W algebrze liniowej transformacja reprezentowana przez macierz A jest wstrzykiwalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest {0}, co odpowiada liniowej niezależności kolumn i pełnemu rzędu kolumn.

Zależności i zastosowania. W kontekście zbiorów skończonych, jeśli f: A → B jest wstrzykiwalna, to |A| ≤ |B|; jeśli |A| > |B|, funkcja wstrzykiwalna nie istnieje. W praktyce wstrzykiwalność jest istotna przy projektowaniu odwrotności, analizie algorytmów i systemów, gdzie unikalność odwzorowania bywa kluczowa, na przykład przy mapowaniach danych, identyfikatorach czy strukturach danych. W odróżnieniu od surjekcji (pokrycia całego zbiorku B) wstrzykiwalność nie gwarantuje, że każdy element B ma obraz z A.