variatsiooniarvutust

Variatsiooniarvutus on matemaatikaharu, mis tegeleb funktsionaalide ekstremumite leidmisega. Funktsionaal on funktsioon, mis võtab argumendiks teise funktsiooni ja annab vastuseks arvu. Näiteks saab variatsiooniarvutust kasutada, et leida funktsioon, mis minimeerib mingi antud pindala või tee pikkuse.

Variatsiooniarvutuse keskseks tööriistaks on Euleri-Lagrange'i võrrand. See võrrand võimaldab leida funktsionaali ekstreemumeid, lahendades vastava diferentsiaalvõrrandi. Meetod põhineb ideel, et funktsionaali muut, kui funktsioon muutub veidi, peab olema null ekstreemumi korral.

Variatsiooniarvutus on leidnud rakendust paljudes teadus- ja insenerivaldkondades. Füüsikas kasutatakse seda klassikalise mehaanika, elektromagnetismi ja kvantväljateooria kirjeldamiseks. Optikas aitab variatsiooniarvutus selgitada valguse levikut Fermat'i printsiibi kaudu. Samuti on sellel rakendusi geomeetrias, nagu geodeetiliste joonte leidmine, ja majandusteaduses, näiteks optimaalse majanduskasvu mudelite loomisel.

Mõned olulised mõisted variatsiooniarvutuses hõlmavad funktsionaale, ekstreemumeid, Euleri-Lagrange'i võrrandit ja variasioone. Variatsiooniarvutus pakub võimsa matemaatilise raamistiku probleemide lahendamiseks, kus otsitakse optimaalset funktsiooni, mitte lihtsalt arvu või punkti.