variatsiooniarvutuses

Variatsiooniarvutus on matemaatikaharu, mis tegeleb funktsionaalide uurimisega. Funktsionaal on kujutus, mis seostab funktsiooni funktsiooniga arv. Erinevalt tavalistest funktsioonidest, mis võtavad sisendiks arvu ja annavad väljundiks arvu, võtavad funktsionaalid sisendiks funktsiooni ja annavad väljundiks reaalarvu. Variatsiooniarvutuse peamine eesmärk on leida funktsioon või funktsioonide hulk, mis minimeerib või maksimeerib antud funktsionaali.

Seda ala on esimest korda süstemaatiliselt uurinud Euler ja Lagrange 18. sajandil. Variatsiooniarvutuse põhiprobleemiks on nn. ekstreemumi leidmine. Selleks kasutatakse enamasti Euler-Lagrange'i võrrandit, mis on differentialvõrrand, mille lahendid annavad funktsionaali ekstreemumid.

Variatsiooniarvutus leiab rakendusi paljudes teadus- ja insenerivaldkondades. Näiteks füüsikas kasutatakse seda mehaanika, elektromagnetismi ja kvantväljateooria probleemide lahendamisel, kus otsitakse süsteemi stabiilseid seisundeid või trajektoore, mis vastavad mingile energia miinimumpõhimõttele. Samuti on see oluline matemaatilises optikas, ergonoomikas ja isegi majanduses. Kaasaegses matemaatikas ja rakendustes on variatsiooniarvutus endiselt aktiivne uurimisvaldkond, millel on palju laiendusi ja seoseid teiste teadusharudega.