Variatsiooniarvutus

Variatsiooniarvutus on matemaatiline meetod, mida kasutatakse funktsionaalide ekstremeerimiseks. Funktsionaal on omamoodi "funktsioon funktsioonist", mis võtab sisendiks funktsiooni ja väljastab arvu. Variatsiooniarvutuse peamine eesmärk on leida selline funktsioon, mis annab antud funktsionaalile minimaalse või maksimaalse väärtuse.

Selle meetodi aluseks on variaatiokontseptsioon. Variaatsioon kujutab endast funktsiooni väikest muutust. Kui meil on funktsioon y(x), siis selle funktsionaali variaatsioon oleks y(x) + εη(x), kus ε on väike parameeter ja η(x) on suvaline lubatav funktsioon, mis on null funktsionaali ekstreemumit määravatel piiridel. Variatsioonide abil leitakse vajalikud tingimused, mille peab funktsioon täitma, et funktsionaali väärtus oleks ekstreemne.

Tuntumad rakendused varieerimiskalkulusele hõlmavad füüsikat, kus seda kasutatakse paljude loodusseaduste, näiteks mehhaanika (minimaalse tegevuse printsiip), optika (Fermati printsiip) ja väljateooria, sõnastamiseks. Samuti kasutatakse seda inseneriteaduses, näiteks silla ehitusel konstruktsioonide optimeerimiseks, ja majanduses, näiteks ressursi eraldamise probleemide lahendamiseks. Tõhusa varieerimiskalkuluse lahendus on tihti seotud diferentsiaalvõrranditega, mida nimetatakse Euleri-Lagrange'i võrranditeks.