variasjonmetoder

Variasjonsmetoder er en gruppe matematiske og numeriske teknikker som brukes til å løse problemer ved å formulere dem som optimaliseringsoppgaver for funksjoner eller funksjonal. Hovedideen er å velge en familie av prøveløsninger som avhenger av parametere, beregne et mål (for eksempel energi eller action) og justere parameterne slik at målet blir minste mulig eller stasjonært. Metodene bygger på calculus of variations og gir naturlige framgangsmåter for å finne tilnærmede løsninger når eksakte løsninger ikke er tilgjengelige.

I fysikk og ingeniørfag spiller variasjonsmetoder en viktig rolle. Innen kvantemekanikk brukes variasjonsprinsippet og Rayleigh–Ritz-metoden til å få tilnærmede energier og tilstander ved å minimere forventningsverdien av Hamiltonianen over et valg av trial-funksjoner. Prinsippet gir ofte en øvre grense for grunntilstanden, og bedre valg av basis gir mer nøyaktige resultater. Lignende tilnærminger brukes i klassisk mekanikk, feltteori og elastisitet, hvor løsninger er stasjonære for et riktig energifunksjonal.

Innen statistikk og maskinlæring har variasjonsinferens (variational inference) en sentral rolle. Her søkes en enkel familie av fordelinger som minimerer KL-diverganse til den sanne posterioren, noe som muliggjør effektiv tilnærming til kompliserte bayesianske modeller. Konsepter fra variasjonsmetoder ligger også bak treningsidéer som variational autoencoders, hvor målet er å lære en stilisert, konstant risikofri representasjon av data.

Valg av trial-funksjoner og funksjonal påvirker nøyaktigheten; metoden gir ofte effektive, men approximate løsninger som kan forbedres ved mer avanserte prøver og bedre basis.