transponierbar

Transponierbar bedeutet in der Mathematik, dass die betreffende Größe durch Transponieren in eine sinnvoll definierte Form überführt werden kann. Am gebräuchlichsten ist dieser Begriff im Zusammenhang mit Matrizen oder linearen Abbildungen. Die Transponierung ist eine Abbildung, die Zeilen einer Matrix in Spalten verwandelt.

Für eine Matrix A der Größe m×n über einem Körper F ist die Transponierte A^T eine n×m-Matrix, deren Einträge durch A^T_{ij} = A_{ji} gegeben sind. Die Transponierung ist eine involutive Operation: (A^T)^T = A. Außerdem gilt (AB)^T = B^T A^T und det(A^T) = det(A). Falls A quadratisch ist, bleibt A^T in derselben Form, und bei invertierbaren Matrizen gilt (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T.

Über Matrizen hinaus wird bei einer linearen Abbildung A: V → W der transponierte bzw. duale Abbildungen A^T: W* → V* definiert über (A^T φ)(v) = φ(A v) für φ ∈ W* und v ∈ V. In endlichen dimensionalen Räumen mit einer definierten inneren Produktstruktur entspricht die Transponierte dem Adjunkten, wenn das innere Produkt entsprechend gewählt wird.

Symmetrie- und Orthonormalbedingungen verdeutlichen die Bedeutung der Transponierten: Eine Matrix ist symmetrisch, wenn A^T = A; eine Matrix ist orthogonal, wenn A^T = A^{-1} ist.

Anwendungen finden sich unter anderem in der Lösung linearer Gleichungssysteme, bei der Bildung von Gram-Matrizen, der Dimensionsreduktion sowie in der Theorie bilinearer Formen und beim Wechsel der Basis.

Siehe auch: Transpose, Dualraum, Adjunkt, Bilineares Form.