topoloogia

Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib ruumide omadusi sõltumatult nende mõõtmetest ja geomeetrilisest täpsusest. Põhiprintsiip on topoloogiline ruum, mille moodustab X ehk aluskomplekt ja T ehk avatud hulkkude kogum. T peab rahuldama kolm tingimust: X ja tühi hulk on avatud; avatud hulkade liit (suvaline arv) on avatud; avatud hulkkide lõiked (fini) on avatud. Ilma metrika kasutamata võimaldab see uurida lähedust, piirjooni, pidevust ja konvergentsi.

Pidevus ja topoloogilised mõisted defineeritakse avatud hulkkde kaudu. Funktsioon f: X→Y on pidev, kui iga avatud hulk U⊆Y täit f^{-1}(U) on avatud X-is. Homeomorfism on bijection, mille mõlemad suunad on pidevad; kaks ruumi on homeomorfsed, kui nad on sama topoloogilise struktuuriga. Topoloogias kasutatakse tihti subspace topology (alamruumi topoloogia), product topology (toote topoloogia) ning quotient topology (kvotianttopoloogia), mis laiendavad ruume ning sobivad erinevate konstruktsioonide ja ülekandete jaoks.

Olulised mõisted hõlmavad ühenduvust (ruum ei saa jagada kahe avatud, mitteühendatud osaga), kompaktust (iga avatusest kattuvus sisaldab alampi kattuvust) ja piiride ning konvergeeruvuse ideid. Ühenduvad ja kompaktset tüüpi ruumid omavad tihti tugevaid omadusi, mis võimaldavad täpseid järeldusi.

Näited: rea joon R standardtopoloogiaga; diskreetne topoloogia (kõik alamhulgad on avatud) ja indiscrete/topoloogia (ainult tühi hulk ja X on avatud). Topoloogia on oluline rahuldamata üldistuste ning erinevate valdkondade, nagu algebraic topology, differential topology ja geometric topology, teoreetiline alus. Rakendused ulatuvad analüüsist geomeetria ja andmeteaduseni (nt topoloogiline andmetöötlus).