Topoloogias

Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib ruumide omadusi, mis püsivad pidevate deformatsioonide korral. Peamised objektid on topoloogilised ruumid, mis koosnevad hulga X ja avade kogumist T, kus T täidab avade aksioomid: X ja tühi hulk kuuluvad T; iga unioon avadest kuulub T; iga finite lõikumis avadest kuulub samuti T. Pidev funktsioon f: X → Y on defineeritud nii, et iga av V ⊂ Y on f^{-1}(V) av X-s.

Topoloogiline ruum annab jaotuse, mille abil kirjeldatakse, kuidas punktid lähenevad omavahel. Mõisted nagu avatud hulk, sulgus ja piirid on keskseid, kuid need ei nõua täpseid geomeetrilisi mõõtmeid. Pidevus, kontinuiti ja homeomorfism (topoloogiline samavõrdsus) on aluskonstandid, mida kasutatakse ruumide võrdsuse ja transformatsioonide hindamiseks.

Olulised konstruktsioonid hõlmavad alamruumi topoloogiat (alamruum X ⊂ Y omab avade kogumit {U ∩ X : U on av Y-s}), tootetopoloogiat (ruumide toode X × Y koos avade kogumiga, mis sünteesitakse komponentide kaudu), ning quotient-topoloogiat (ruum leitakse vahendades võrdlussuhetega X jaotust). Lisaks on tähtsad mõisted ühenduvus, kompaktsus, seotus, piirid ja konverents (nt järjeste konverentsi või võrgude kaudu). Metrosüsteemid demonstreerivad, kuidas teatud topoloogiad võivad olla metriseeritavad, st tekivad sobiva metri kaudu.

Ajalooliselt arendas topologyatid 19. ja 20. sajandi algul Poincaré, Cantor, Brouwer ja teised ning selle raamid on levinud analüüsi, geomeetria, dünaamikate ja rakenduste, sealhulgas andmete ja arvutiteaduse valdkondades.

---