todennäköisyysdensity

Todennäköisyystiheysfunktio, englanniksi probability density function (PDF), kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan X jakauman tiheyden. Funktio f on määritelty siten, että f(x) ≥ 0 kaikilla x ja koko todellisuus on sitä kautta jaettu siten, että kokonaispinta-ala on yksi: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Tämän avulla epäaktiiviset todennäköisyydet lasketaan hajauttamalla alueen pituuden mukaan: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.

Todennäköisyystiheys liittyy kertymäfunktioon F(x) = P(X ≤ x) siten, että F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Odotusarvo ja varianssi voidaan esittää tiheysfunktion avulla: E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx ja Var(X) = ∫ (x − μ)^2 f(x) dx, missä μ = E[X].

Esimerkkejä: normaalijakauma with f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(−(x−μ)^2/(2σ^2)) määrittelee jatkuvan jakauman, jossa parametrit μ ja σ vaikuttavat keskelle ja hajontaan. Tasajakauma uniform [a, b] antaa f(x) = 1/(b−a) x välillä [a, b] ja f(x) = 0 muualta.

Monikunnittaisissa tapauksissa voidaan puhua yhteisestä tiheydestä f(x, y, …) ja marginaalitiheydestä f_X(x) saadaan integraalilla muista muuttujista. Tiheys ei ole todennäköisyyssumma sinänsä; se voi ylittää yhden yksikössä, mutta kokonaisalueen integrointi on yksi. Jos jakauma ei ole täysin jatkuva, voidaan käyttää diskreettiä massakappaletta tai yhdistettyä lähestymistapaa Lebesgue-todennäköisyyden kanssa. Transformaatioissa tiheys muuttuu kertomalla muuttujan muutoskertoimella (jakobian).