tihedusfunktsiooni

Tihedusfunktsioon (inglise keeles probability density function, PDF) kirjeldab pideva juhusliku suuruse X jaotust. See on mitte-negatiivne funktsioon f: R → [0, ∞), mille Lebesgue’i integraal on 1: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Tõenäosus, et X kuulub vahemikku [a,b], on P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Tihedusfunktsioon seob ka jaotuse CDF-iga F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt.

Omadused ja piirangud: tihedusfunktsioon kehtib ainult pideva jaotuse korral; diskreetsete jaotuste puhul puudub tihedus ning nende jaotust kirjeldatakse massiifunktsiooni P(X=k) kaudu. Segatud (mixt) jaotused võivad sisaldada nii tihedust kui ka massi osi. Kui F on diferentseeruv, siis F'(x) = f(x) peaaegu kõigil x. Tihedusfunktsioon on defineeritud terves ruumis Lebesgue’i mõistes ja tihti räägitakse tihedusest suhtes pideva osa suhtes.

Näited: standardne normaaljaotus X ~ N(μ, σ^2) omab tihedust f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x-μ)^2/(2σ^2)). Ühtlane jaotus U(a,b) on tihedus f(x) = 1/(b-a) kui x ∈ [a,b], 0 mujal. Eksponentsiaalne jaotus with rate λ on f(x) = λ e^{-λ x} (x ≥ 0), 0 mujal.

Mitmeastmelised juhtumid: multivariate tihedus f_X(x) defineeritud R^n-le; marginaal- ja konditsioneeritud tihedused ning muutujate teisenduste korral Jacobian’i kasutamine. Tihedusfunktsiooni kasutatakse jaotuste modelleerimisel, tõenäosuste arvutamisel ja tihedushindamisel (nt kernel density estimation).