tidsserieprocesser

En tidsserieprocess är en stokastisk process som beskriver hur en observerad variabel X_t utvecklas över tidsindex t. Varje observation påverkas av tidigare värden och slumpmässiga störningar, vilket gör att seriens struktur kan innehålla trender, säsongsmönster och volatilitet. Syftet med tidsserieanalys är att beskriva dessa komponenter, förstå beroenden över tid och göra prognoser för framtida observationer.

Vanliga modeller omfattar autogressiva (AR) processer där X_t = φ_1 X_{t-1} + … + φ_p X_{t-p} + ε_t, och glidande medelvärde (MA) där X_t = ε_t + θ_1 ε_{t-1} + … + θ_q ε_{t-q}. Kombinationen kallas ARMA(p,q). För icke-stationära serier används ARIMA(p,d,q), där d anger antalet differenseringar. Vid tydlig säsongsmässig struktur används SARIMA. För volatilitetens dynamik används ofta GARCH-modeller. I multivariata sammanhang finns VAR-modeller som fångar samverkan mellan flera tidsserier.

Egenskaper och diagnostik innefattar stationaritet, autokorrelation och partiell autokorrelation. ACF och PACF används vid modellval, och Ljung-Box-test bedömer om residualernas autocorrelation är noll. Parametrar estimeras vanligen med maximum likelihood, Yule-Walker eller minimering av fel, medan Kalman-filter används i state-space-tillvägagångssätt.

Användningsområden inkluderar ekonomiska och finansiella tidsserier, makroekonomiska data, klimat och miljö, samt signalbehandling. Begränsningar inkluderar antaganden om linjär struktur och stationaritet, samt risk för modellmisspecifikation vid komplexa serier.