tetthetsfordelinger

Tetthetsfordelinger er en kategori av sannsynlighetsfordelinger som beskriver sannsynligheten for kontinuerlige utfall gjennom en tetthetsfunksjon, ofte kalt f(x). En tetthetsfordeling kjennetegnes av at tetthetsfunksjonen er ikke-negativ over hele sitt domene og at integralet av f over hele det reelle tallrommet er lik 1. For et intervall [a, b] gir den sannsynligheten P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) er definert som F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt og gir P(X ≤ x).

Forventning og variasjon er viktige egenskaper ved tetthetsfordelinger. For en kontinuerlig variabel X er forventningen E[X] = ∫ x f(x) dx og variansen Var(X) = E[(X − E[X])^2], hvor integrasjonene tas over hele det talrommet. Tetthetsfordelinger tillater også beregning av andre momenter og egenskaper som median og kvantiler.

Vanlige eksempler på tetthetsfordelinger inkluderer normalfordelingen, som har tett sentrum og røtter i f(x) = (1/√(2π)) exp(-x^2/2); uniform fordelt på et intervall [a, b] med f(x) = 1/(b−a) for x ∈ [a, b] og 0 ellers; eksponential-, gamma- og beta-fordelinger, hver med egne former og parameteriseringer. Tetthetsfordelinger brukes ofte til å modellere naturlige mål som lengder, tider og andre kontinuerlige størrelser.

Estimering av tetthetsfordelinger skjer gjennom historiske data ved histograms, kernel density estimation (KDE) eller parametert tilnærming som maksimum sannsynlighet eller momentmetoder. Det er viktig å skille mellom kontinuerlige tetthetsfordelinger og diskrete fordelinger, som bruker sannsynlighetsmassefunksjon P(X = x) i stedet for en tetthetsfunksjon. Multivariate tetthetsfordelinger beskriver sammenhengen mellom flere variabler via en f-bit tetthetsfunksjon.