taudinvariantit

Taudinvariantit ovat sairauksien dynamiikkaa kuvaavien matemaattisten mallien muuttumattomia suureita, joita ajan kuluessa ratkaisut säilyttävät. Ne ovat funktioita tilamuuttujista (esim. S, I, R) siten, että kyseinen funktio pysyy vakiona mallin differentiaaliyhtälöiden toteutuessa. Taudinvarianttien käsite auttaa ymmärtämään ja yksinkertaistamaan malleja sekä tarjoamaan keinoja tarkistaa numeeristen ratkaisujen oikeellisuus.

Yleisimmäksi esimerkiksi annetaan suljettu väestö, jossa ei ole syntymää eikä kuolemaa: tilamuuttujien summa S+I+R on vakio ja vastaa kokonaisväestöä N. Tämä invarianta legitimoi massataseen, jonka avulla voidaan vähentää mallin tilamuuttujien määrää ja helpottaa analyysiä. Mikäli demografiaa tai muita väestönvaihtelun tekijöitä ei hylätä, kokonaismäärä voi muuttua ajassa, ja invarianttien esiintyminen riippuu löytyvistä erityisistä yhdistelmistä tiloista.

Taudinvariantteja etsitään usein siten, että määritellään funktio I(S,I,R,…) ja Todetaan sen aikaderivaatio nollaksi dI/dt = 0 for ratkaisuissa. Tämä voi johtua massatasapainosta, symmetriasta tai muista mallin rakenteista. Joissakin malleissa invariants osoittavat, että tietyt suhteet sairastuneiden ja muiden tilojen välillä pysyvät muuttumattomina, vaikka yksittäiset tilat muuttuvat.

Rajoitukset ja käyttö: ei kaikissa malleissa ole invarianteja, erityisesti kun otetaan huomioon synty/kuolema, rokotukset tai muuttuva kontaktivälit. Taudinvariantteja käytetään ennen kaikkea teoreettisessa analyysissä ja koodauksen tarkistuksessa sekä mallien yksinkertaistamisessa. Ne auttavat myös luomaan konsistentteja parametrisointeja ja vertailemaan malleja.