tandvlakpunten

Tandvlakpunten, ook aangeduid als punten van tangentie, zijn de punten op een oppervlak waar een tangentvlak het oppervlak op dat punt raakt. Op zo’n punt is er sprake van eerste orde contact tussen het oppervlak en de vlakke meetkundige tangent, wat betekent dat het vlak de kromming van het oppervlak op dat punt niet doorbreekt maar volgt.

Voor een oppervlak gedefinieerd door een impliciete vergelijking F(x,y,z) = 0 geldt: als de gradient ∇F(p) ≠ 0 is op een punt p = (x0,y0,z0) met F(p) = 0, dan is de tangentvlakvergelijking ∇F(p) · (X − p) = 0, waarbij X = (x,y,z) en de punt p een tandvlakpunt is. Als het oppervlak wordt beschreven als z = f(x,y), dan is het tangentvlak op (x0,y0) gegeven door z − z0 = fx(x0,y0)(x − x0) + fy(x0,y0)(y − y0); de normale vector is dan (fx, fy, −1).

Een bekend voorbeeld is de bol x^2 + y^2 + z^2 = R^2. Voor een punt p = (x0,y0,z0) met x0^2 + y0^2 + z0^2 = R^2 is de tangentvlakvergelijking x0 x + y0 y + z0 z = R^2. Bij parametrisering r(u,v) ligt het tangentvlak op p in het圖 spanned door ∂r/∂u en ∂r/∂v; de normaalvector is ∂r/∂u × ∂r/∂v.

Er kan ook gesproken worden van hogere orde contact wanneer ∇F(p) = 0. Tandvlakpunten zijn fundamenteel in geometrie en toepassingen zoals CAD, computergraphics en structurele analyse, waar de omgang met tangentvlakken en normalen centraal staat.