surjektioilla

Surjektioilla tarkoitetaan matematiikassa funktioita f: A → B, joilla on seuraava ominaisuus: jokaiselle kohdejoukon alkiolle b ∈ B on olemassa alkio a ∈ A siten, että f(a) = b. Toisin sanoen kuva f on koko B:n kattava. Surjektio on siis onto-funktio.

Surjekti määritellään usein myös seuraavasti: on olemassa g: B → A niin, että f(g(b)) = b kaikille b ∈ B. Tämä kuvaa right-inversiota: surjektioilla on oikea käännös, jolloin kohdejoukon kaikki alkiot saadaan kuvatuksi. Finiteissa joukoissa this johtaa siihen, että |B| ≤ |A|, ja on mahdollista, että useampi kuin yksi A:n alkio kuvaa samaa B:n alkiota.

Esimerkki: f: {1,2,3} → {a,b} määritelty f(1) = a, f(2) = a, f(3) = b on surjektio, koska sekä a että b ovat kuvattavissa. Toiseksi, g: {1,2} → {a,b} määritelty g(1) = a, g(2) = a ei ole surjektio, koska b jää kuvatta only to.

Surjektioita käsitellään usein laskennassa ja combinatoriiissa. Esimerkiksi määrä surjektioita joukosta n elementtiä kohteeseen, jossa on k alkiota, on tunnettu kaava k! S(n,k) (Stirlingin lukuista riippuvainen tulos). Surjektioita tarkastellaan myös jatkuvissa ja topologisissa konteksteissa sekä funktioiden ominaisuuksien, kuten kuvausten ja katosten, yhteydessä.

Yhteenvetona surjektioilla tarkoitetaan kaikkia tilanteita, joissa kohdejoukon jokaiselle alkiolle löytyy esiaste, ja ne ovat keskeinen osa funktioiden peruskäsitteitä.