surjectivité

Surjectivité, ou caractère surjectif d’une fonction, désigne la propriété selon laquelle chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent dans l’ensemble de départ. Formelle­ment, une fonction f : E→F est surjective si, pour tout y∈F, il existe x∈E tel que f(x)=y. Cette condition s’écrit souvent ∀y∈F ∃x∈E : f(x)=y ou encore f(E)=F, ce qui signifie que l’image de f coïncide avec l’ensemble d’arrivée.

En termes d’ensemble, la surjectivité implique que le complémentaire de l’image de f dans F est vide. La propriété est duale de l’injectivité, qui exige l’unicité de l’antécédent pour chaque valeur de l’image. Lorsqu’une fonction est à la fois injective et surjective, on parle alors de bijection; une bijection possède une fonction réciproque bien définie, notée f⁻¹, qui est également bijective.

Des exemples classiques illustrent la notion. L’application f : ℝ→ℝ, x↦x³, est surjective car tout réel y admet un cubique réel x=y^{1/3}. En revanche, la fonction g : ℝ→ℝ, x↦e^{x}, n’est pas surjective, son image étant (0,+∞). Dans le contexte des espaces vectoriels, une matrice A∈M_{m,n}(ℝ) définit une application linéaire surjective ℝ^{n}→ℝ^{m} exactement lorsque son rang est m, c’est‑à‑dire lorsque ses colonnes engendrent tout ℝ^{m}.

La surjectivité joue un rôle central en algèbre, en analyse et en théorie des catégories, où elle intervient dans la caractérisation des épimorphismes. Dans la résolution d’équations, la condition de surjectivité garantit l’existence d’une solution pour chaque valeur cible, ce qui en fait un critère essentiel pour l’étude de la solvabilité des systèmes.