summointimenetelmistä

Summointimenetelmät ovat matemaattisia tekniikoita, joiden tarkoituksena on antaa järkevä summa sellaisille sarjoille, joiden tavallinen summaminen ei konvergoi tai konvergenssi on hidasta. Niillä voidaan myös kiihdyttää sarjans konvergenssia, jolloin saadaan parempia likikkeitä rajoille jo pienemmillä osasummilla. Menetelmät perustuvat transformaatioihin, analyyttiseen jatkamiseen tai sarjansuuruuksien rytmivaihtelujen hyödyntämiseen.

Klassiset summantimenetelmät liittyvät divergenttien sarjojen summaukseen. Cesàro-summauksessa tarkastellaan partial sumsien keskiarvonnan rajoja; jos nämä keskivedet konvergoivat, sarja on Cesàro-summattavissa. Abel-summauksessa sarjan määritellään korvaamalla pienellä säätötekijällä muuttuva sarja ja ottamalla raja- arvo x→1-. Borel-summauksessa tehdään Borel-μniste ja Laplace-kertoimien avulla määritelty summa. Nörlund-summaukset laajentavat näitä perusmenetelmiä yleisemmiksi painotuksiksi. Eulerin transformaatio on toinen keino, jolla joitakin vuorottelevia sarjoja voidaan säätää konvergoiviksi.

Konvergenssin kiihdyttämiskeinot parantavat tarkoituksella päällysrakennetta ja antavat paremman lähestymän sarjan todelliseen rajapäätyyn. Aitkenin delta-kaksoiskaava, Shanksin muunnos ja Wynn-epsilon -algoritmi ovat yleisiä menetelmiä lineaarisesti konvergoivien sarjojen korjaamiseen. (Richardsonin extrapolointi on toinen käytetty tekniikka, jossa tiedetään johtopäätöksen riippuvuus askelten koosta.)

Sovelluksia löytyy fysiikasta ja tilastotieteestä aina numeeriseen analyysiin asti. Fysiikassa usein esiintyvät epäkonvergoivat sarjat voidaan käsitellä Borel- tai zeta-regularisoinnilla. Numeerisessa laskennassa kiihdyttämistekniikat parantavat sarjojen käytettävyyttä. Menetelmien valinta riippuu sarjan ominaisuuksista ja tarkoituksesta; oikea valinta ei aina ole ilmeinen, ja jotkut menetelmät saattavat antaa epäluotettavia tuloksia epälineaarisissa tai monimutkaisissa tapauksissa.