statespacemodellen

Statespacemodellen, eller state-space-modellen, är en allmän matematisk ram för att beskriva dynamiska system där systemets tillstånd utvecklas över tid och kan kopplas till observerade mått. Modellen används inom teknik och vetenskap för att beskriva allt från fysiska processer till ekonomiska tidsserier och robotik.

I diskret tid skrivs tillståndsutvecklingen som x_t+1 = A x_t + B u_t + w_t och observationen som y_t = C x_t + D u_t + v_t. Här är x_t en kolumnvektor av latenta tillstånd, u_t en kontrollingång, y_t ett mätvärde, och w_t samt v_t process- respektive mätbrus som ofta antas ha kända statistiska egenskaper (t.ex. vit Gaussian-brus). Initialt tillstånd x_0 ges ofta som en fördelning.

I kontinuitetstidsformen används differentialekvationer: dx/dt = F x + G u + w och y = H x + D u + v. Båda versionerna kan vara linjära eller icke-linjära, tidsinvarianta eller tidsvarierande.

Estimering och filtrering är centrala aspekter: för linjära, tidsinvarianta system används Kalmanfilter, medan icke-linjära system ofta behandlas med Extended Kalman-filter (EKF), Unscented Kalman-filter (UKF) eller partikelfilter. Tillståndet rekonstrueras från sekvenser av observationer och ingångar.

Viktiga begrepp är observabilitet och styrbarhet, som avgör hur väl tillståndet kan rekonstrueras och kontrolleras från mätningar och styrsignaler. Modellen används inom kontrollteori, signalbehandling, ekonometriska tidsserier och navigering, där den tydligt separerar inre tillstånd och observerbar data.