språngdiskontinuitet

Språngdiskontinuitet är en typ av diskontinuitet i en funktion där grafen har ett klart hopp vid en punkt x0. Det kännetecknas av att vänster- och högergränsen vid x0 existerar som tal men är inte lika med varandra.

Definition och kännetecken: L^- = lim_{x→x0^-} f(x) och L^+ = lim_{x→x0^+} f(x). Om båda gränserna existerar och är tal men L^- ≠ L^+, så har f en språngdiskontinuitet vid x0. Värdet f(x0) behöver inte vara definierat eller överensstämma med gränserna. Storleken av språnget mätts som |L^+ − L^-|.

Egenskaper och konsekvenser: Språngdiskontinuitet uppträder ofta i styckvisa funktioner eller signaler där värdet ändras plötsligt när x passerar x0. Grafen visar då ett omedelbart hopp från den vänstra gränsen till den högra gränsen. Om två sidor har samma gräns (L^- = L^+) men f(x0) inte är lika med denna gräns kan man få en annan typ av diskontinuitet, kallad avlägsnad (removable) diskontinuitet.

Exempel: Heaviside-funktionen H(x) är ett klassiskt exempel. Den är definierad som 0 för x < 0 och 1 för x ≥ 0. Vid x0 = 0 finns två olika gränser (0 från vänster och 1 från höger), vilket innebär språngdiskontinuitet vid 0.

Relation till andra typer: Om vänster- eller högergränsen inte finns eller är oändlig räknas det som en annan diskontinuitet, såsom infinite eller oscillatory. Språngdiskontinuitet är särskilt vanlig i styckvisa funktioner och i störningar eller signaler där ett plötsligt värdeskifte förekommer.