splineinterpoleerimine

Splineinterpoleeraminen on menetelmä, jolla annetusta pistemäärästä luodaan jatkuva ja sileä käyrä käyttämällä splineiksi kutsuttuja paljastu-polynomijaksoja. Pistejoukko on tavallisesti x-koordinaatit x0 < x1 < ... < xn ja vastaavat havainnot f0, f1, ..., fn. Tavoitteena on, että käyrä y(x) täyttää y(xi) = fi kaikille i sekä halutun sileysvaatimuksen solmupisteissä.

Splines ovat piecewise-polynomeja, jotka ovat määritelty jokaiselle väliin x_i ≤ x ≤ x_{i+1}. Tärkeää on jatkuvuus sekä näiden polynomien ensimmäinen ja toiselle derivaatalle jatkuvuus solmupisteissä. Yleensä käytetään kolmiulotteisia (cubic) polynomeista koostuvia splinesia, jolloin kunkin välin derivoidaan sovitetaan toisiinsa siten, että käyrä on C1- tai jopa C2-sileä. Sileys voidaan varmistaa liittämällä ehtoja: y_i(x_i) = y_{i-1}(x_i), y'_i(x_i) = y'_{i-1}(x_i), ja y''_i(x_i) = y''_{i-1}(x_i).

Tavallisesti kubisplineissä ratkaistaan toisen derivaattojen arvot m_i solmupisteisiin ratkaisemalla tridiagonaalinen lineaarijärjestelmä. Päätepisteissä voidaan asettaa luonnolliset ehdot (toisen derivaatan nolla päissä) tai antaa arvoja ensimmäisille derivaattoille (clamped/boundary conditions). Kun m_i on tiedossa, kunkin segmentin polynomit ovat yksilöitäviä kaavoja.

Splineinterpoleerimisen etuja ovat hyvä sileys, lokaalinen hallinta ja parempi käyttäytyminen suurten näytteiden yhteydessä perinteiseen polynominterpolointiin verrattuna. Haittoja ovat extrapolaation rajoitukset sekä solmupisteiden valinnan merkitys. Sovelluksia löytyy tietojenkäsittelyn, tietojen interpoloimisen, grafiikan sekä signaalinkäsittelyn aloilta.