spenningstensor

Spenningstensoren, eller stress tensoren, er en andreordens tensor som beskriver hvordan interne krefter fordeler seg i et kontinuum på et gitt punkt. Den kobler retning av et område (et ansiktsplan med normalt n) til tractionen t som virker på dette planet: t = σ · n. Komponentvis representerer σ_ij kraft per arealenhet i retningen i på planetens normal retning j.

I statiske og dynamiske situasjoner er spenningstensoren vanligvis symmetrisk (σ_ij = σ_ji) når det ikke er ytre dreiemomenter. Spenningen kan deles inn i en hydrostatisk del og en deviatorisk del: σ = -p I + s, hvor p = -1/3 Tr(σ) er hydrostatisk trykk, I er identitetsmatrisen og s er deviatorisk stress med Tr(s) = 0. Egenverdiene til σ gir principal-spenningene, dvs. spenningene i retninger der σ er diagonal.

For isotropt lineært elastisk materiale følger Hookes lov σ = λ Tr(ε) I + 2 μ ε, der ε er smådeformasjonstensoren, og λ, μ er Lamé-konstanter. I væsker og viskoelastiske medier skrives ofte σ = -p I + τ, hvor τ er deviatorisk stress.

Bevaringen av moment gir symmetri av σ i fravær av ytre treskrefter, og bevaring av kraft gir ligningen for koordinatbalanse ∇·σ + f = 0, der f er kroppskrefter. Spenningstensoren er derfor grunnleggende i analyse av krefter, deformasjoner og styrke i faste stoffer og væsker, og brukes i strukturanalyse, fluidmekanikk og geovitenskap.

Historisk ble stress i et punkt formulert av Cauchy, som introduserte spenningstensoren som en relasjon mellom traction og arealnormaler.