snittpunkter

Snittpunkter är gemensamma punkter där två eller flera geometriska objekt möts. I plan geometri används begreppet ofta för att beskriva var linjer eller kurvor har samma plats i koordinatsystemet. En snittpunkt är alltså en lösning till de ekvationer som beskriver objekten.

Intersections av två räta linjer: Anta två linjer i planet skrivna i standardform som a1 x + b1 y = c1 och a2 x + b2 y = c2. Med determinantsvillkoret D = a1 b2 − a2 b1 kan man avgöra antal snittpunkter. Om D ≠ 0 finns en unik snittpunkt, given av x = (c1 b2 − c2 b1)/D och y = (a1 c2 − a2 c1)/D. Om D = 0 är linjerna parallella eller identiska: om linjerna inte är identiska finns ingen snittpunkt; om de är identiska finns oändligt många snittpunkter längs linjen.

Snittpunkter av kurvor: För två kurvor kan snittpunkter hittas där deras ekvationer uppfylls samtidigt. Till exempel för funktioner y = f(x) och y = g(x) uppstår snittpunkter där f(x) = g(x). Lösningar för x ger snittpunkterna (x, f(x)). Antalet snittpunkter beror på kurvornas form och kan vara noll, ett eller flera.

Multiplicitet och mer avancerade synpunkter: Inom algebraisk geometri används begreppet snittpunktens multiplicitet, särskilt när kurvor berör varandra (tangering). Bezouts sats säger i projektivt plan att två polynomiska kurvor av grad m respektive n har upp till m·n snittpunkter räknat med multiplicitet och inklusive punkter vid oändligheten. I praktiken används även numeriska metoder för att hitta ungefärliga snittpunkter, till exempel Newton-Raphson.

Användningar: Snittpunkter är centrala inom datorgrafik, CAD, geovetenskaplig informationsbehandling och robotik där objekts samverkan och kopplingar mellan former ofta beräknas genom deras snittpunkter.