skalaarikertolaskusta

Skalaarikertolasku, tunnettu myös nimellä pistetulo, on yksi lineaarialgebran perustavanlaatuisista operaatioista. Se ottaa syötteenään kaksi vektoria samasta ulottuvuudesta ja tuottaa yhden skalaarin tuloksena. Tämä skalaari edustaa merkityksellistä tietoa vektoreiden suhteellisesta asennosta ja pituudesta.

Matemaattisesti skalaarikertolasku kahdelle vektorille, esimerkiksi a = (a1, a2, ..., an) ja b = (b1, b2, ..., bn), määritellään laskemalla yhteen niiden vastaavien komponenttien tulot. Kaava on siis a · b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Esimerkiksi, jos a = (1, 2) ja b = (3, 4), niin a · b = (1 * 3) + (2 * 4) = 3 + 8 = 11.

Skalaarikertolaskulla on useita tärkeitä ominaisuuksia ja sovelluksia. Se on kommutatiivinen, eli a · b = b · a. Lisäksi se on distributiivinen yhteenlaskun suhteen: a · (b + c) = a · b + a · c. Skalaarikertolaskun avulla voidaan laskea vektorin pituus (normi) ottamalla sen pistetulo itsensä kanssa ja neliöjuuri tuloksesta. Vektorin pituus on siis ||a|| = sqrt(a · a).

Yksi skalaarikertolaskun merkittävimmistä käyttötarkoituksista on vektoreiden välisen kulman laskeminen. Kahden vektorin pistetulo on yhtä suuri kuin niiden pituuksien tulo kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla. Kaava on a · b = ||a|| ||b|| cos(theta), missä theta on vektoreiden välinen kulma. Tästä seuraa, että jos kahden vektorin skalaaritulo on nolla, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Skalaarikertolaskua käytetään laajalti fysiikassa työn laskemisessa, tietokonegrafiikassa valaistuksen mallintamisessa ja koneoppimisessa piirteiden samankaltaisuuden mittaamisessa.