Skalaarikertolaskulla

Skalaarikertolasku, tunnetaan myös nimellä pistetulo tai sisätulo, on yksi vektorian algebraan liittyvä perusoperaatio. Se ottaa syötteenä kaksi vektoria ja tuottaa tuloksena skalaarin, eli yhden luvun. Skalaarikertolasku on määritelty kahdella eri, mutta toisiinsa liittyvällä tavalla: geometrisesti ja algebrallisesti.

Geometrisesti kahden vektorin skalaarikertolasku on niiden pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo. Jos vektorit ovat a ja b, ja niiden välinen kulma on θ, niin skalaarikertolasku a · b = |a| |b| cos(θ). Tämä määritelmä korostaa skalaarikertolaskun yhteyttä vektorien suuntaan ja suuruuteen. Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen kulma on 90 astetta, cos(90°) = 0, ja siten niiden skalaarikertolasku on nolla.

Algebrallisesti, jos vektorit ovat määritelty komponenttiensa avulla, skalaarikertolasku lasketaan vastaavien komponenttien tulojen summana. Jos vektori a = (a₁, a₂, ..., aₙ) ja vektori b = (b₁, b₂, ..., bₙ), niin a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ. Tämä tapa on usein käytännöllisempi laskennassa ja mahdollistaa skalaarikertolaskun laajentamisen moniulotteisiin avaruuksiin.

Skalaarikertolaskulla on monia sovelluksia fysiikassa, kuten työn laskemisessa (työ = voima · siirtymä), ja koneoppimisessa, esimerkiksi samankaltaisuuden mittaamisessa. Se on keskeinen työkalu vektorien välisten suhteiden analysoinnissa.