singularvärdesuppslag

Singulärvärdesuppslag (singular value decomposition, SVD) är en allmänt använd faktorisering av en matris A ∈ R^{m×n} eller C^{m×n}. Den säger att A kan skrivas som A = U Σ V^*, där U och V är unitära (eller ortogonala i det reala fallet) matriser och Σ är en reell diagonalmatrix med icke-negativa tal på diagonalen. För reella matriser är A = U Σ V^T. Σ har storleken m×n och innehåller singulärvärden σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0 (r = rank(A)) placerade på diagonalen i fallande ordning, medan övriga element är nollor.

Vektorerna i kolonner av V kallas högra singulärvektorer och utgör basen där A verkar som en skalförändring. Vektorerna i kolonnerna av U kallas vänstra singulärvektorer och beskriver hur A påverkar riktningar i målrummet. Singulärvärdena σi är kvadratrötterna av eigenvärdena av A^* A och av AA^*, vilket ger en geometrisk tolkning av hur mycket A sträcker eller komprimerar längder längs olika riktningar.

Användningar inkluderar låg-rank-approximation, datakompression och brusreducering. Enligt Eckart-Young-teoremet ger A_k = U_k Σ_k V_k^* den bästa rank-k-approximationen till A i Frobeniusnorm och i spektral norm. SVD används även i PCA-relaterade metoder och i lösning av överbestämda system via lösningar av minsta absoluta eller minsta kvadrater.

Speciella fall: För reella, symmetriska positiva semidefinita matriser förenklas SVD till A = Q Λ Q^T med U = V = Q och Σ = diag(λ_i), där λ_i är icke-negativa eigenvärden.